Question

13．f（x）=$\frac{{a•{4^x}-{a^{-2}}}}{{{4^x}+1}}$為定義在R上的奇函數(shù)
（1）求a；
（2）設(shè)$h（x）={log_2}^{\frac{a+x}{a-x}}，g（x）={log_{\sqrt{2}}}^{\frac{1+x}{k}}$，當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}\;，\;\frac{2}{3}}]$時(shí)h（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，可得a=1，再由奇函數(shù)的定義，檢驗(yàn)即可得到；
（2）運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得不等式即為$\frac{1+x}{1-x}$≤（$\frac{1+x}{k}$）²，由題意可得k²≤1-x²在$x∈[{\frac{1}{3}\;，\;\frac{2}{3}}]$時(shí)恒成立．求得右邊二次函數(shù)的最小值，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{a•{4^x}-{a^{-2}}}}{{{4^x}+1}}$為定義在R上的奇函數(shù)，
即有f（0）=0，即a-a^-2=0，
解得a=1，
則f（x）=$\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{4}^{-x}-1}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$=-f（x），
f（x）為奇函數(shù)，
故a=1；
（2）h（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$，
h（x）≤g（x）恒成立，
即為log₂$\frac{1+x}{1-x}$≤$lo{g}_{\sqrt{2}}\frac{1+x}{k}$=log₂（$\frac{1+x}{k}$）²，
即有$\frac{1+x}{1-x}$≤（$\frac{1+x}{k}$）²，
由于$x∈[{\frac{1}{3}\;，\;\frac{2}{3}}]$，則k＞0，
即有k²≤1-x²在$x∈[{\frac{1}{3}\;，\;\frac{2}{3}}]$時(shí)恒成立．
即有k²≤1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$，
解得0＜k≤$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
即有k的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)及運(yùn)用，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．