Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，令a_n=log₂₀₁₅x_n，則a₁+a₂+…+a₂₀₁₄的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意可得切點(diǎn)P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k，進(jìn)而可求切線方程，切線方程，在方程中，令y=0可得，x_n=

n

n+1

，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₄=

1

2015

，代入可求出答案．

解答： 解：由題意可得切點(diǎn)P（1，1），
對(duì)函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹求導(dǎo)可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率K=f′（1）=n+1，切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=

n

n+1

∴x₁x₂…x₂₀₁₄=

1

2

•

2

3

•

3

4

••

2014

2015

=

1

2015

，
∴l(xiāng)og₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄=log₂₀₁₅（x₁x₂…x₂₀₁₄）
=log₂₀₁₅ 2015^-1=-1
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，累乘及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，還考查了基本運(yùn)算的能力．