Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=sinθ，a_n+1=a_n•cosθ（n∈N^*，sinθ，cosθ≠0），若$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$\sqrt{3}$，求θ

Answer 1

分析 由sinθ，cosθ≠0，可得數(shù)列{a_n}是以sinθ為首項，以cosθ為公比的等比數(shù)列，由數(shù)列的極限等于$\sqrt{3}$列式，再由輔助角公式化積后求得θ．

解答 解：∵sinθ，cosθ≠0，∴數(shù)列{a_n}是以sinθ為首項，以cosθ為公比的等比數(shù)列，
則$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{sinθ}{1-cosθ}$=$\sqrt{3}$，
即sinθ+$\sqrt{3}cosθ=\sqrt{3}$．
∴2（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）=$\sqrt{3}$，即sin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}+2kπ$或$θ+\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}+2kπ，k∈Z$．
則θ=2kπ（舍）或$θ=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列極限的求法，是中檔題．