Question

9．向量$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-cos²α）和向量$\overrightarrow$=（m，$\frac{m}{2}$+sinα），λ，m α為實數，若向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$，則$\frac{λ}{m}$的取值范圍是[-6，1]．

Answer 1

分析 根據$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$和條件建立方程關系，消去參數m后分離出λ，結合三角函數的有界性、二次函數的性質，轉化為一元二次不等式組，求出λ的范圍，再利用分離常數法化簡$\frac{λ}{m}$，由λ的范圍求出$\frac{λ}{m}$的范圍．

解答 解：由題意得，$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-cos²α）、$\overrightarrow$=（m，$\frac{m}{2}$+sinα），且$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{（λ+2）=2m①}\\{{λ}^{2}-co{s}^{2}α=2（\frac{m}{2}+sinα）②}\end{array}\right.$，
由①得，m=$\frac{λ+2}{2}$，代入②化簡得，λ²-cos²α=$\frac{λ+2}{2}$+2sinα，
則${λ}^{2}-\frac{λ}{2}$=1+cos²α+2sinα=-sin²α+2sinα+2
=-sin²α+2sinα-1+3=-（sinα-1）²+3，
∵-1≤sinα≤1，∴-（sinα-1）²+3∈[-1，3]，
則-1≤${λ}^{2}-\frac{λ}{2}$≤3，解得$-\frac{3}{2}≤λ≤2$，
由m=$\frac{λ+2}{2}$得，m∈$[\frac{1}{4}，2]$，且$\frac{1}{m}$=$\frac{2}{λ+2}$，
∴$\frac{λ}{m}$=$\frac{2λ}{λ+2}$=$\frac{2（λ+2）-4}{λ+2}$=2-$\frac{4}{λ+2}$，
∵λ+2∈[$\frac{1}{2}$，4]，∴$\frac{4}{λ+2}$∈[1，8]，則-$\frac{4}{λ+2}$∈[-8，-1]，
所以$\frac{λ}{m}$∈[-6，1]，
故答案為：[-6，1]．

點評 本題考查平面向量的應用，三角函數的化簡，分離常數法，以及一元二次不等式的求解，綜合性較強，運算量較大．