Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x-2a|+|x-a|，x∈R，a≠0
（1）當a=1時，解不等式：f（x）＞2
（2）若b∈R，證明：f（b）≥f（a），并求在等號成立時$\frac{a}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求得不等式的解集．
（2）由條件利用絕對值三角不等式證得f（b）≥f（a），當且僅當b-2a與b-a同號，或它們中至少有一個為0時，取等號，再由（2a-b）（b-a）≥0，即 ${（\frac{a}）}^{2}$-3$\frac{a}$+2≤0，求得$\frac{a}$的范圍．

解答 解：（1）當a=1時，解不等式：f（x）＞2，即|x-2|+|x-1|＞2，
|x-2|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對應點到2、1對應點的距離之和，
而0.5和2.5對應點到2、1對應點的距離之和正好等于2，故不等式的解集為{x|x＜0.5，或 x＞2.5}．
（2）證明：∵f（x）=|x-2a|+|x-a|，
故 f（a）=f（a），f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，
即 f（b）≥f（a），當且僅當b-2a與b-a同號，或它們中至少有一個為0時，取等號，
∴（2a-b）（b-a）≥0，即 3ab-2a²-b²≥0，即 ${（\frac{a}）}^{2}$-3×$\frac{a}$+2≤0，
求得1≤$\frac{a}$≤2．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值三角不等式，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．