Question

8．如圖，橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）和圓C₂：x²+y²=b²，已知圓C₂將橢圓C₁的長(zhǎng)軸三等分，且圓C₂的面積為π，橢圓C₁的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C₂相交于點(diǎn)A、B，直線EA、EB與橢圓C₁的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P、M．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）求△EPM面積最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，求出橢圓的幾何量，然后求出橢圓方程．
（2）求出三角形的面積，利用換元法以及基本不等式求出最值即可．

解答 解：（1）依題意，b=1，則a=3b．∴橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（2）（Ⅰ）由題意知直線PE，ME的斜率存在且不為0，PE⊥ME，不妨設(shè)直線PE的斜率為k（k＞0），
則PE：y=kx-1．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{x^2}{9}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{18k}{{9{k^2}+1}}}\\{y=\frac{{9{k^2}-1}}{{9{k^2}+1}}}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}}\right.$，
∴$P（\frac{18k}{{9{k^2}+1}}，\frac{{9{k^2}-1}}{{9{k^2}+1}}）$．
用$-\frac{1}{k}$代替k，得$|PE|=\sqrt{{{（\frac{18k}{{9{k^2}+1}}）}^2}+{{（\frac{{18{k^2}}}{{9{k^2}+1}}）}^2}}=\frac{18k}{{9{k^2}+1}}\sqrt{1+{k^2}}$，
$|EM|=\frac{{18\frac{1}{k}}}{{9\frac{1}{k^2}+1}}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}=\frac{18}{{9+{k^2}}}\sqrt{1+{k^2}}$，
∴${S_{△EPM}}=\frac{1}{2}\frac{18k}{{9{k^2}+1}}\sqrt{1+{k^2}}\frac{18}{{9+{k^2}}}\sqrt{1+{k^2}}=\frac{{162k（1+{k^2}）}}{{（9+{k^2}）（1+9{k^2}）}}$
=$\frac{{162（k+{k^3}）}}{{9{k^4}+82{k^2}+9}}=\frac{{162（\frac{1}{k}+k）}}{{9{k^2}+\frac{9}{k^2}+82}}$．
設(shè)$k+\frac{1}{k}=μ$，則${S_{△EPM}}=\frac{162μ}{{82+9（{μ^2}-2）}}=\frac{162}{{9μ+\frac{64}{μ}}}≤\frac{162}{{2\sqrt{9μ•\frac{64}{μ}}}}=\frac{27}{8}$．當(dāng)且僅當(dāng)$k+\frac{1}{k}=\frac{8}{3}$時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．