Question

9．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，且|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，則|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是（　�。�

• A． [1，3]
• B． [2$\sqrt{2}$，3]
• C． [$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，3]

Answer 1

分析 可設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，表示點（1，0）和（0，2）之間的線段，|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，表示（-2，0）到線段AB上點的距離，運用點到直線的距離公式可得最小值，和兩點的距離公式可得最大值．即可得到所求范圍．

解答 解：可設$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
即有$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$=（x-1，y），$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$=（x，y-2），由|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，
可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$
即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距離和為$\sqrt{5}$，
即表示點（1，0）和（0，2）之間的線段，|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，
表示（-2，0）到線段AB上點的距離，
最小值是點（-2，0）到直線2x+y-2=0的距離|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|_min=$\frac{6}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
最大值為（-2，0）到（1，0）的距離是3，
所以|$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{a}$|的取值范圍是[$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，3]．
故選：D．

點評 本題考查向量的坐標運算，考查兩點的距離公式和點到直線的距離公式，向量模的幾何意義，屬于中檔題．