Question

11．現(xiàn)有四個(gè)點(diǎn)P₁（0，-1），P₂（-1，-1），P₃（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P₄（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），其中只有三個(gè)點(diǎn)在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)M（1，0）的直線l，使得直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N，且滿足AB=2$\sqrt{10}$|MN|，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得到P₁（0，-1），P₃（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P₄（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓C，求出a²=4，b²=1，由此能求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為H（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
 直線MN：y+$\frac{k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），令y=0，得x=$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，即N（$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，0）
|MN|=|$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-1$|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{4\sqrt{3{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$，由|AB|=2$\sqrt{10}$|MN|，可得k，即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，P₃（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P₄（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），兩點(diǎn)必在橢圓C上，
又P₄的橫坐標(biāo)為1，∴橢圓必不過P₁（1，1），
把P₁（0，-1），P₃（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓C，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3^{2}}{4}=1}\\{\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）依題意可得直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為H（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀-1）=-$\frac{k}{1+4{k}^{2}}$
直線MN：y+$\frac{k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）
令y=0，得x=$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，即N（$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，0）
|MN|=|$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-1$|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{4\sqrt{3{k}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$
∵|AB|=2$\sqrt{10}$|MN|，可得2$\sqrt{3{k}^{2}+1}=\sqrt{10}×\sqrt{1+{k}^{2}}$
解得k=±$\sqrt{3}$，
∴存在直線l，直線l的方程為：y=±$\sqrt{3}$（x-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了弦長公式、方程的思想，屬于中檔題．