Question

3．已知α，β為銳角，sinα=$\frac{1}{7}$，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sin（α+$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由α的范圍和平方關(guān)系求出sinα，再由兩角和的正弦函數(shù)求出sin（α+$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）由α，β為銳角得α+β∈（0，π），由平方關(guān)系求出sin（α+β），再由兩角差的余弦函數(shù)求出cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：（Ⅰ）∵α為銳角，sinα=$\frac{1}{7}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=sinαcos$\frac{π}{6}$+cosαsin$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$；
（Ⅱ）∵α，β為銳角，∴α+β∈（0，π），
由cos（α+β）=$\frac{3}{5}$得，sin（α+β）=$\sqrt{1-{cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$\frac{3}{5}×\frac{4\sqrt{3}}{7}+\frac{4}{5}×\frac{1}{7}$=$\frac{4+12\sqrt{3}}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，注意角的范圍和角之間的關(guān)系，屬于中檔題．