Question

19．已知f（x）=e^x（x-a-1）-$\frac{1}{2}$x²+ax，a＞0．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若x∈（0，1）時，f（x）＜-a-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)和0的關(guān)系由此可得f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）需要分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)求出函數(shù)的最值，即可求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x-a）-x+a=（x-a）（e^x-1），
當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0，f（x）單增；
當(dāng)x∈（0，a）時，f′（x）＜0，f（x）單減；
當(dāng)x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單增．
所以，f（x）在（-∞，0）和（a，+∞）分別單調(diào)遞增；在（0，a）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
當(dāng)a≥1時，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，f（x）＜f（0）=-a-1．
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（0，a）單調(diào)遞減；在（a，1）單調(diào)遞增，
則f（x）＜-a-1當(dāng)且僅當(dāng)f（1）=-ae+a-$\frac{1}{2}$≤-a-1，
解得：$\frac{1}{2（e-2）}$≤a＜1．
綜上：a的取值范圍是[$\frac{1}{2（e-2）}$，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，正確運用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．