Question

19．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x³-3ax²+a．
（1）若x=-1是函數(shù)f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）是否存在實數(shù)a，使得x∈[1-a，1+a]時，恒有-1≤f′（x）≤1成立（f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（-1）=0，求出a的值即可；
（2）通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值和最小值，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6ax，
f′（-1）=3+6a=0，解得：a=-$\frac{1}{2}$；
（2）f′（x）=3x²-6ax，對稱軸x=a，
①a≤1-a即a≤$\frac{1}{2}$時，
f′（x）在[1-a，1+a]遞增，
∴f′（x）_min=f′（1-a）=9a²-12a-3，
f′（x）_max=f′（1+a）=-3a²+3，
∵-1≤f′（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{{9a}^{2}-12a-3≥-1}\\{-{3a}^{2}+3≤1}\end{array}\right.$，解得：a≤-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
②$\frac{1}{2}$＜a≤1時，f′（x）在[1-a，a）遞減，在（a，1+a]遞增，
而a-1+a＜1+a-a，
∴f′（x）_min=f′（a）=-3a²，f′（x）_max=-3a²+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜a≤1}\\{-{3a}^{2}≥-1}\\{-{3a}^{2}+2≤1}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
③a＞1時，a-1+a＞1+a-a，
∴f′（x）_min=f′（a）=-3a²，f′（x）_max=f′（1-a）=9a²-12a-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-{3a}^{2}≥-1}\\{{9a}^{2}-12a-3≤1}\end{array}\right.$，無解，
而1-a＜1+a，故a≥0，
綜上：a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．