Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2log₂a_n，數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得出{a_n}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出a_n；
（2）計(jì)算$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），再使用列項(xiàng)法求出T_n，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）由S_n+2=2a_n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁+2=2a₁，解得a₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+2=2a_n-1有a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）由（I）得b_n=2log₂2ⁿ=2n，∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）．
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$]
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，列項(xiàng)法求和，屬于中檔題．