Question

13．設(shè)p：函數(shù)y=$\sqrt{a{x}^{2}-ax+1}$的定義域為R，q：$\frac{{a}^{2}+a+1}{{a}^{2}-4a+3}$＞0，如果“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p是真命題：a=0顯然成立，a≠0，則需滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，從而可得出0≤a≤4；若命題q為真：容易判斷a²+a+1＞0恒成立，從而需a²-4a+3＞0，這便得到a＜1，或a＞3，而根據(jù)條件可判斷出p，q的關(guān)系：p真q假，和p假q真兩種情況，求出每種情況a的取值范圍再求并集即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：p：①a=0時，y=1，滿足定義域為R；
②a≠0時，則：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$；
解得0＜a≤4；
∴0≤a≤4；
q：${a}^{2}+a+1=（a+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}＞0$；
∴a²-4a+3＞0；
解得a＜1，或a＞3；
∵“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題；
∴p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤4}\\{1≤a≤3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0，或a＞4}\\{a＜1，或a＞3}\end{array}\right.$；
解得1≤a≤3，或a＜0，或a＞4；
∴實數(shù)a的取值范圍為{a|a＜0，或1≤a≤3，或a＞4}．

點評 考查函數(shù)定義域的概念，二次函數(shù)的取值情況和判別式△的關(guān)系，對于命題p不要漏了a=0的情況，解一元二次不等式，以及p∨q，p∧q的真假和p，q的關(guān)系．