Question

2．實數(shù)x，y滿足（x-2）²+y²=1，求下列各式的最大值：
（1）$\frac{y}{x}$；
（2）$\frac{y-1}{x}$；
（3）x²+y²；
（4）x²+y²+2x-4y+2．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{y}{x}$的幾何意義，以及圓心到直線的距離等于半徑，求出k的值，可得最大值；
（2）根據(jù)$\frac{y-1}{x}$的幾何意義表示過圓上的點與（0，1）的直線的斜率，畫出圖象，讀出即可；
（3）根據(jù)x²+y²表示圓上的點到原點的距離的平方，從而求出其最大值；
（4）將x²+y²+2x-4y+2變形為（x+1）²+（y-2）²-3，而（x+1）²+（y-2）²表示圓上的點到（-1，2）的距離的平方，畫出圖象，求出即可．

解答 解：（1）$\frac{y}{x}$的最值即為過原點的直線與圓相切時該直線的斜率．
設(shè)$\frac{y}{x}$=k，則kx-y=0．由 $\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故（$\frac{y}{x}$）_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）$\frac{y-1}{x}$表示過圓上的點與（0，1）的直線的斜率，
如圖示：
，
顯然，直線過定點（0，1）和圓上的點（2，1）時，斜率最大，
最大值是：0；
（3）x²+y²表示圓上的點到原點的距離的平方，
顯然，圓上的點（3，0）到原點的距離最大，
∴x²+y²=3²+0=9，
故x²+y²的最大值是9；
（4）∵x²+y²+2x-4y+2=（x+1）²+（y-2）²-3
要求x²+y²+2x-4y+2的最大值，
即求（x+1）²+（y-2）²的最大值，
而（x+1）²+（y-2）²表示圓上的點到（-1，2）的距離的平方，
畫出圖象：
，
當(dāng)（x+1）²+（y-2）²=AC²時，最大，
而AC=AB+BC=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$+1=$\sqrt{13}$+1，
∴（x+1）²+（y-2）²-3=${（\sqrt{13}+1）}^{2}$-3=11+2$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和圓的關(guān)系，簡單的線性規(guī)劃問題，是一道中檔題．