Question

15．若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，且x+2y＞a²-2a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，4）．

Answer 1

分析 原不等式恒成立可化為（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）＞a²-2a恒成立，由基本不等式可得x+2y≥8，故只需8＞a²-2a成立即可，解關(guān)于a的不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=1，
∴x+2y=（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）=2+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+2=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$時，等號成立）
∵不等式x+2y＞a²-2a恒成立，即（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）＞a²-2a恒成立，
∴只需8＞a²-2a成立即可，
化簡可得a²-2a-8＞0，解得-2＜a＜4，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，4）
故答案為：（-2，4）．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式的應(yīng)用，涉及恒成立問題，變形并求出需要的最小值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．