Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（x）＞0；
（Ⅲ）當(dāng)a＞1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)a=2時(shí)的f（x），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，極小值也為最小值，判斷它大于0，即可得證；
（Ⅲ）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，可得極值點(diǎn)x=lna，比較a與lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比較，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，
f′（x）=e^x-2，
即有f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為f′（0）=e⁰-2=-1，
即有f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y-1=-（x-0），
即為x+y-1=0；
（Ⅱ）證明：f′（x）=e^x-2，令f′（x）=0，解得x=ln2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，當(dāng)x＞n2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=ln2處f（x）取得極小值，也為最小值，且為e^ln2-2ln2=2-2ln2＞0，
即有f（x）＞0；
（Ⅲ）由于f（x）=e^x-ax，f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=0，解得x=lna＞0，
當(dāng)a＞1，令M（a）=a-lna，M′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$＞0，
M（a）在（1，+∞）遞增，又M（1）=1-ln1=1，M（a）=a-lna＞0，
即有a＞1，a＞lna，
當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
lna＜x＜a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=lna處f（x）取得最小值；
f（0）=e⁰-0=1，f（a）=e^a-a²，
令h（a）=f（a）-f（0）=e^a-a²-1，
a＞1時(shí)，h′（a）=e^a-2a＞0，
h（1）=e-1-1=e-2＞0，h（a）=e^a-a²-1＞0，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（a）＞f（0），
則有當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[0，a]上的最大值為f（a）=e^a-a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．