Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“條件約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①f（x）=4x；②f（x）=x²+2；③$f（x）=\frac{2x}{{{x^2}-2x+5}}$；④f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．其中是“條件約束函數(shù)”的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 用“條件約束函數(shù)”的定義加以驗(yàn)證，對(duì)于①③④均可以找到常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，說(shuō)明它們是F函數(shù)，
而對(duì)于②，所以不存在常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故它們不符合題意．

解答 解：對(duì)于①，f（x）=4x，易知ω=4符合題意，
①是“條件約束函數(shù)”，
對(duì)于②，用“條件約束函數(shù)”的定義不難發(fā)現(xiàn)：因?yàn)閤→0時(shí)，|$\frac{f（x）}{x}$|→∞，
所以不存在常數(shù)ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，
②不是“條件約束函數(shù)”，
對(duì)于③，因?yàn)閨f（x）|=$\frac{2|x|}{{（x-1）}^{2}+4}$≤$\frac{1}{2}$|x|，
所以存在常數(shù)ω=$\frac{1}{2}$＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，
③是“條件約束函數(shù)”函數(shù)，
對(duì)于④，f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，
因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤4|x|成立，
存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，符合題意，
④是“條件約束函數(shù)”，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域和值域的問(wèn)題，屬于中檔題．題中“條件約束函數(shù)”的實(shí)質(zhì)是函數(shù)f（x）與x的比值對(duì)應(yīng)的函數(shù)是有界的，抓住這一點(diǎn)我們不難解出．