Question

4．若函數(shù)f（x）=e^x-ax²有三個(gè)不同零點(diǎn)，則a的取值范圍（　�。�

• A． （1，$\frac{e}{2}$）
• B． （$\frac{e}{2}$，+∞）
• C． （1，$\frac{{e}^{2}}{4}$）
• D． （$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 可判斷a＞0，作函數(shù)y=e^x與y=ax²的圖象，從而轉(zhuǎn)化問題為當(dāng)x＞0時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再假設(shè)兩圖象至多有-個(gè)交點(diǎn)，則e^x≥ax²恒成立，從而可得a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$；從而解得．

解答 解：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x-ax²＞0恒成立，故a＞0；
作函數(shù)y=e^x與y=ax²的圖象如圖，
由圖象可知，當(dāng)x＜0時(shí)，兩圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，
故當(dāng)x＞0時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
假設(shè)兩圖象至多有-個(gè)交點(diǎn)，則e^x≥ax²恒成立，
即a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
記F（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
故F（x）_min=F（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$；
故a≤$\frac{{e}^{2}}{4}$時(shí)，兩圖象至多有-個(gè)交點(diǎn)；
故若函數(shù)f（x）=e^x-ax²有三個(gè)不同零點(diǎn)，則a＞$\frac{{e}^{2}}{4}$；
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．