Question

13．已知圓C₁：x²+y²=4與圓C${\;}_{2}：（x-a）^{2}+（y-2）^{2}=4$相離．
（1）求實數(shù)a的取值范圍
（2）是否存在過點（$\frac{5}{2}$，0）的直線m，使得圓C₂關(guān)于m對稱的圓與C₁重合？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩圓相離，d＞r₁+r₂，列出不等式求出a的取值范圍；
（2）假設(shè)存在過點（$\frac{5}{2}$，0）的直線m，滿足條件，即兩圓的圓心關(guān)于直線m對稱，
求出a、k的值，即可得出直線m的方程．

解答 解：（1）∵圓C₁：x²+y²=4與圓C${\;}_{2}：（x-a）^{2}+（y-2）^{2}=4$相離，
∴$\sqrt{{a}^{2}{+2}^{2}}$＞2+2，
化簡得a²＞12，
解得a＜-2$\sqrt{3}$或a＞2$\sqrt{3}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a＜-2$\sqrt{3}$或a＞2$\sqrt{3}$}；
（2）假設(shè)存在過點（$\frac{5}{2}$，0）的直線m，使得圓C₂關(guān)于m對稱的圓與C₁重合，
顯然直線m的斜率存在，可設(shè)為k，
則直線m的方程為y=k（x-$\frac{5}{2}$）；
且圓心O（0，0）關(guān)于直線m的對稱點為（a，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k（\frac{a}{2}-\frac{5}{2}）=1}\\{\frac{2}{a}=-\frac{1}{k}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{a=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{a=1}\end{array}\right.$（不合題意，應(yīng)舍去）；
∴當(dāng)a=4時，k=-2，直線m的方程為y=-2（x-$\frac{5}{2}$），
化為一般形式是2x+y-5=0．

點評 本題考查了兩圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了點關(guān)于直線對稱的應(yīng)用問題，是綜合性題目．