Question

12．求定積分${∫}_{0}^{4}$$\frac{x}{\sqrt{3x+4}}$dx．

Answer 1

分析 將被積函數(shù)變形，利用換元的思想轉化為我們熟悉的基本初等函數(shù)形式解答．

解答 解：設t=$\sqrt{3x+4}$，則x=$\frac{{t}^{2}-4}{3}$，并且t∈[2，4]，則dx=d$\frac{{t}^{2}-4}{3}$=$\frac{2}{3}t$dt，
所以${∫}_{0}^{4}$$\frac{x}{\sqrt{3x+4}}$dx=${∫}_{2}^{4}$$\frac{{t}^{2}-4}{3}$•$\frac{1}{t}$•$\frac{2}{3}t$dt=$\frac{2}{9}$${∫}_{2}^{4}$$\frac{{t}^{2}-4}{3}$dt=$\frac{2}{9}$（$\frac{1}{3}$t³-4t）${\;}_{2}^{4}$=$\frac{64}{27}$．

點評 本題考查了定積分的計算，關鍵是將所求轉化為熟知的基本初等函數(shù)的導數(shù)，進一步求定積分．