Question

18．如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為圓弧上一點，過點C作半圓的切線CF，過點A作CF的垂線，垂足為D，AD交半圓于點E，連結(jié)EC，BC，AC．
（Ⅰ）證明：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）若AB=3，DE=$\frac{3}{4}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明∠BAC=∠CAD，即可證明：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）證明△DCE∽△CAB，則$\frac{DE}{CE}=\frac{CB}{AB}$，求出BC，即可求△ABC的面積．

解答 （Ⅰ）證明：由CD為半圓O的切線，根據(jù)弦切角定理得∠DCA=∠CBA，
又因為∠CDA=∠BCA=90°，得∠BAC=∠CAD，
所以AC平分∠BAD；…（5分）
（Ⅱ）解：由CD為半圓O的切線，根據(jù)弦切角定理得∠DCE=∠CDA，
又因為∠CAD=∠CAB，所以∠DCE=∠CAB，
可得△DCE∽△CAB，則$\frac{DE}{CE}=\frac{CB}{AB}$，
又因為EC=BC，AB=3，DE=$\frac{3}{4}$，
所以BC=$\frac{3}{2}$，即S_△ABC$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．…（10分）

點評 本題考查弦切角定理，考查三角形相似的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．