Question

10．函數(shù)f（x）=（1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）cos2x在區(qū)間[-3，3]上零點的個數(shù)為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 令g（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$，由其導函數(shù)判斷其在[-3，3]上為單調(diào)函數(shù)，且有一個零點，而y=cos2x在區(qū)間[-3，3]上有4個零點，則答案可求．

解答 解：設g（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$，
則g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$，
在區(qū)間[-3，3]上，$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，故函數(shù)g（x）在[-3，3]上是增函數(shù)，
由于g（-3）式子中右邊x的指數(shù)為偶次項前為負，奇數(shù)項前為正，結(jié)果必負，即g（-3）＜0，
且g（3）=1+3+（-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$）+（-$\frac{x^4}{4}$+$\frac{{x}^{5}}{5}$）+…+（-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$）+（-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）＞0，
故在[-3，3]上函數(shù)g（x）有且只有一個零點．
又y=cos2x在區(qū)間[-3，3]上有四個零點，且與上述零點不重復，
∴函數(shù)f（x）=（1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）cos2x在區(qū)間[-3，3]上的零點的個數(shù)為1+4=5．
故選C．

點評 本題考查基本初等函數(shù)的導函數(shù)的求法，考查了函數(shù)零點的判斷，是中檔題．