Question

11．若用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的圖象，其五點(diǎn)如下表：

x	$\frac{π}{2}$	2π	$\frac{7π}{2}$	5π	$\frac{13π}{2}$
y	0	2	0	-2	0

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=Acos（ωx+φ），若關(guān)于x的方程g（x）+λ=0在[π，7π]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的解α，β，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，并求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由最值求出A的值，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求出λ的取值范圍，利用反三角函數(shù)求出α、β的值，即可求α+β．

解答 解：（1）由題意可得：A=2，周期T=$\frac{13π}{2}$-$\frac{π}{2}$=6π，解得：ω=$\frac{2π}{6π}$=$\frac{1}{3}$，
又點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）在函數(shù)圖象上，可得：$\frac{1}{3}×\frac{π}{2}$+φ=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由-π＜φ＜π，可得：φ=-$\frac{π}{6}$，
解得函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．
（2）由題意可得：A=2，周期T=$\frac{13π}{2}$-$\frac{π}{2}$=6π，解得：ω=$\frac{2π}{6π}$=$\frac{1}{3}$，
又點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）在函數(shù)圖象上，可得：$\frac{1}{3}×\frac{π}{2}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由-π＜φ＜π，可得：φ=$\frac{π}{3}$，
解得：g（x）=2cos（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$）．
∵關(guān)于x的方程g（x）+λ=0在[π，7π]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的解α，β，
由題意可得：2cos（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=-λ，
∵x∈[π，7π]，
∴$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{8π}{3}$]，
∴2cos（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，2]，
∴λ∈[-2，2]．
又∵cos（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{λ}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{3}$=π+arccos$\frac{λ}{2}$，或π-arccos$\frac{λ}{2}$；
即α=2π+3arccos$\frac{λ}{2}$，β=2π-3arccos$\frac{λ}{2}$；
∴α+β=4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了由三角函數(shù)的值求角的問題，是中檔題．