Question

2．已知函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{a}{e^x}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)F（x）=x[f（x）-f′（x）]的最小值；
（2）若g（x）=|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，求出F（x）=x[f（x）-f′（x）]，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求解最小值．
（2）通過(guò)當(dāng)a≤0時(shí)，推出a≥[-e^2x]_max，當(dāng)a＞0時(shí)，推出a≤[e^2x]_min，然后求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{a}{e^x}$=${e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}$．
F（x）=x[f（x）-f′（x）]，F(xiàn)（x）=$-\frac{2x}{{e}^{x}}$．
F′（x）=$\frac{2（x-1）}{{e}^{x}}$=0，可得x=1．
由表得：當(dāng)x=1時(shí)，
F（x）最小值為：-$\frac{2}{e}$．┉┉┉（5分）
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=${e}^{x}-\frac{a}{{e}^{x}}$＞0，g（x）=f（x），
若在[0，1]上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0恒成立，即：a≥[-e^2x]_max，
a≥-1，
∴-1≤a≤0，┉┉┉（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=${e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$＞0，f（x）=${e}^{x}-\frac{a}{{e}^{x}}$在[0，1]上是單調(diào)增的
又g（x）=|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）≥0在[0，1]上恒成立．a(chǎn)≤[e^2x]_min，0＜a≤1．
綜上：-1≤a≤1┉┉┉（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值，最小值，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．