Question

3．已知一個四次方程至多有四個根，記為x₁，x₂，…，x_k（k≤4）．若方程x⁴+ax-4=0各個實根
所對應(yīng)的點$（{x_i}，\frac{4}{x_i}），（i=1，2，…k）$均在直線y=x的同側(cè)，求實數(shù)a的取值范圍a＜-6或a＞6．

Answer 1

分析 原方程等價于x³+a=$\frac{4}{x}$，原方程的實根是曲線y=x³+a與曲線y=$\frac{4}{x}$ 的交點的橫坐標(biāo)，分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象：分a＞0與a＜0討論，可得答案．

解答 解：方程的根顯然x≠0，原方程等價于x³+a=$\frac{4}{x}$，
原方程的實根是曲線y=x³+a與曲線y=$\frac{4}{x}$ 的交點的橫坐標(biāo)，
而曲線y=x³+a是由曲線y=x³向上或向下平移|a|個單位而得到的，
若交點$（{x}_{i}，\frac{4}{{x}_{i}}）$（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，
因直線y=x與y=$\frac{4}{x}$交點為：（-2，-2），（2，2）；
所以結(jié)合圖象可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{（-2）}^{3}+a＞-2}\\{x＜-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{2}^{3}+a＜2}\\{x＞2}\end{array}\right.$，
解得a＞6或a＜-6．
故答案為：a＞6或a＜-6．

點評 本題綜合考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化二行推理能力．