Question

12．若關于x的方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k（k為實數(shù)）有三個實數(shù)解，則這三個實數(shù)的和為6．

Answer 1

分析 log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k可化為$\frac{x}{4-x}$=2^（kx-2k），從而可判斷2是方程的根，再設a是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解，從而可知4-a是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解，從而解得．

解答 解：∵log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k，
∴l(xiāng)og₂$\frac{x}{4-x}$+1=kx+1-2k，
即log₂$\frac{x}{4-x}$=kx-2k，
即$\frac{x}{4-x}$=2^（kx-2k），
易知當x=2時，上式成立，
故2是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解，
設a是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解，
即$\frac{a}{4-a}$=2^k（a-2），
則$\frac{4-a}{4-（4-a）}$=$\frac{4-a}{a}$=$\frac{1}{\frac{a}{4-a}}$，
2^k（4-a-2）=2^k（2-a）=2^-k（a-2）=$\frac{1}{{2}^{k（a-2）}}$，
故4-a是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解；
故三個實數(shù)解為2，a，4-a；
故其和為6；
故答案為：6．

點評 本題考查了方程的解的應用及對數(shù)函數(shù)的性質應用，屬于中檔題．