Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公差d≠0，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列S₁，S₂，S₄，…的公比q；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，且S₂=4，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d；從而化簡(jiǎn)可得d=2a₁，從而求公比；
（2）由S₂=2a₁+d=4a₁=4可得a₁=1；從而求得b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1=$\frac{{4}^{n}}{2}$，從而求前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d；
S₁=a₁，S₂=2a₁+d，S₄=4a₁+6d，
故（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），
故d=2a₁，
故q=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{4{a}_{1}}{{a}_{1}}$=4；
（2）∵S₂=2a₁+d=4a₁=4，
∴a₁=1；
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1=$\frac{{4}^{n}}{2}$，
∴{b_n}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴T_n=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了方程思想的應(yīng)用．