已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線y2=4x的焦點F是橢圓M的一個焦點，以F為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線y=
2
4
（x+2）相切
（1）求橢圓M的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與橢圓M交于A，B兩點，且橢圓上的點P滿足
OP
=
OA
+
OB
．證明：四邊形OAPB的面積為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用以F為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線y=
2
4
（x+2）相切，求出b，a，即可求橢圓M的方程；
（2）直線l：y=kx+m與橢圓M聯(lián)立，求出|AB|，點O到直線的距離，即可證明四邊形OAPB的面積為定值．
解答： 解：（1）拋物線y2=4x的焦點F（1，0），直線
2
x-4y+2
2
=0．
∵以F為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線y=
2
4
（x+2）相切
∴b=
|-2
2
-
2
|
16+2
=1，
∴a=
2
，
∴橢圓M的方程為
x2
2
+y2=1；
（2）設(shè)A，B，P點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x，y），
∵
OP
=
OA
+
OB
，
∴x=x1+x2，y=y1+y2，
直線l：y=kx+m與橢圓M聯(lián)立可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴x1+x2=-
4km
1+2k2
，y1+y2=
2m
1+2k2
，
代入橢圓方程可得4m2=1+2k2，
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
2
2
•
2k2-m2+1
1+2k2

點O到直線的距離d=
|m|
1+k2
，
∴S=|AB|d=
1+k2
•
2
2
•
2k2-m2+1
1+2k2
•
|m|
1+k2
=
32m2-8m2
|m|
4m2
=
6
2
．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運用．
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2x+1，x≤-
1
3
x+1
2
，-
1
3
＜x＜3
5-x，x≥3
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4
5
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1
n+3
）n＜
1
2
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n
k=1
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k
n+3
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1
2
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3
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π
6
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π
4
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．

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