Question

10．已知f′（x）是定義在R上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)，f（0）=1，且f′（x）-2f（x）=0，則f（x）＞e的解集為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據題意，不妨設f（x）=e^2x，x∈R，則f（x）在R上是單調增函數(shù)，把不等式f（x）＞e化為e^2x＞e，從而求出不等式的解集．

解答 解：根據題意，不妨設f（x）=e^2x，x∈R，
則f′（x）=2e^2x，滿足f（0）=e⁰=1，且f′（x）-2f（x）=0；
所以f（x）在R上是單調增函數(shù)；
所以不等式f（x）＞e等價于e^2x＞e，
∴2x＞1，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集是（$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案為：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題，也考查了構造函數(shù)的解題方法，是綜合性題目．