Question

17．已知關(guān)于x的不等式|2x-m|≤x+1的解集為[1，5]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=m，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉絕對(duì)值符號(hào)，利用條件求m的值；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=m，利用基本不等式求a²+b²的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵|2x-m|≤x+1
∴-x-1≤2x-m≤x+1，
∴$\frac{1}{3}$（m-1）≤x≤m+1，
∵不等式|2x-m|≤x+1的解集為[1，5]．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m-1=3}\\{m+1=5}\end{array}⇒m=4}\right.$，
（Ⅱ）${a^2}+{b^2}≥\frac{{{{（a+b）}^2}}}{2}≥\frac{16}{2}$=8
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，
∴a²+b²的最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．