Question

已知f（x）=Asin（ωx+φ）+1（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期開為π，且圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為M（

2π

3

，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（

α

2

）=

1

3

，α∈[0，π]，求cosα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（x）=Asin（ωx+φ）+1的周期為π，求出ω，再由f（x）圖象有一個(gè)最低點(diǎn)M（

2π

3

，-1）列式求得φ，則三角函數(shù)的解析式可求；                              
（2）把f（

α

2

）=

1

3

代入函數(shù)解析式，求得sin(α+

π

6

)=-

1

3

，結(jié)合α的范圍求得cos（α+

π

6

）的值，然后由兩角差的余弦得答案．

解答： 解：（1）由f（x）=Asin（ωx+φ）+1的周期為π，
則有T=

2π

ω

=π，得ω=2．
∴f（x）=Asin（2x+φ）+1，
∵函數(shù)圖象有一個(gè)最低點(diǎn)M（

2π

3

，-1），A＞0，
∴A=2，且2sin(2×

2π

3

+φ)+1=-1，
則有2×

2π

3

+φ=

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1；      
                        
 （2）由f（

α

2

）=

1

3

，得2sin(α+

π

6

)+1=

1

3

，得sin(α+

π

6

)=-

1

3

．
∵0≤α≤π，
∴

π

6

≤α+

π

6

≤

7

6

π，
又sin(α+

π

6

)＜0，
∴cos(α+

π

6

)=-

1-sin2(α+ π 6 )

=-

2 2

3

．
∴cosα=[cos(α+

π

6

)-

π

6

]=cos(α+

π

6

)cos

π

6

+sin(α+

π

6

)sin

π

6

=-

2 2

3

×

3

2

-

1

3

×

1

2

=-

1+2 6

6

．

點(diǎn)評：本題考查了利用三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了已知三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)的值，是中檔題．