Question

20．已知三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直線AD與底面BCD所成角為$\frac{π}{3}$，則此時(shí)三棱錐外接球的體積為（　�。�

• A． 8π
• B． $\frac{\sqrt{2}π}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{2}π}{3}$
• D． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD．利用等腰三角形的性質(zhì)可得：OD⊥BC，OA⊥BC，利用線面垂直的判定定理可得：BC⊥平面OAD，于是平面OAD⊥平面BCD，
可得∠ADO=$\frac{π}{3}$．可得△OAD是等邊三角形，設(shè)AD=x，則OD=OC=OB=x，利用勾股定理可得x，可得點(diǎn)O是三棱錐A-BCD的外接球的球心，即可得出．

解答 解：如圖所示，
取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD．
∵AB=AC=BD=CD=2，
∴OD⊥BC，OA⊥BC，
OA∩OD=O，
∴BC⊥平面OAD，
BC?平面BCD，
∴平面OAD⊥平面BCD，
平面OAD∩平面BCD=OD，
∴AD在平面BCD是射影是OD，
∴∠ADO=$\frac{π}{3}$．
又OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
設(shè)AD=x，則OD=OC=OB=x，
∴2x²=4，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)O是三棱錐A-BCD的外接球的球心，
因此外接球的半徑R=$\sqrt{2}$．
∴外接球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、等腰與等邊三角形的性質(zhì)、線面角、三棱錐的外接球的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．