Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-ax，（其中a∈R，無理數(shù)e=2.71828）
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥2時，f（x）≥0 求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離和令g（x）=$\frac{{e}^{x}-{x}^{2}}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，再令h（x）=xe^x-e^x-x²，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可得g（x）為增函數(shù)，可得g（x）的最小值，即可求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=e^x-x²-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-2x-1，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=e-3，
切點(diǎn)為（1，e-2），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（e-2）=（e-3）（x-1），
即為（e-3）x-y+1=0；
（2）當(dāng)x≥2時，f（x）≥0，即為e^x-x²-ax≥0在x≥2恒成立，
即有a≤$\frac{{e}^{x}-{x}^{2}}{x}$在x≥2恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-{x}^{2}}{x}$，g′（x）=$\frac{（{e}^{x}-2x）x-（{e}^{x}-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}-{x}^{2}}{{x}^{2}}$，
再令h（x）=xe^x-e^x-x²，x≥2，h′（x）=x（e^x-2），
當(dāng)x≥2時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
即有h（x）＞h（2）=e²-4＞0，
即有g(shù)′（x）＞0，g（x）在[2，+∞）遞增，
則g（x）在x=2處取得最小值，為$\frac{{e}^{2}-4}{2}$．
則a≤$\frac{{e}^{2}-4}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．