Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|≤1，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最小值是$-\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 對$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|≤1$兩邊平方便可得出$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{|}^{2}≥4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1$，而由a²+b²≥2ab可得到$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{|}^{2}≥4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，而顯然$4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|≥-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，這樣即可得到$-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow≤4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1$，解該不等式便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的取值范圍．

解答 解：由$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|≤1$得：${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}≤1$；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{|}^{2}≤4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1$；
∵$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{|}^{2}≥4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|≥-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
∴$-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow≤4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow≥-\frac{1}{8}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最小值為$-\frac{1}{8}$．
故答案為：$-\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評 考查不等式的性質(zhì)，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及不等式a²+b²≥2ab的運(yùn)用．