Question

12．在（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ的展開式中，第5項與第3項的系數(shù)之比為7：2，則含x的項的系數(shù)是84．

Answer 1

分析 由條件利用二項展開式的通項公式先求出n=9，再令通項公共式中x的冪指數(shù)等于1，求得r的值，可得含x的項的系數(shù)．

解答 解：在（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ的展開式中，它的通項公式為 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${x}^{\frac{3n-7r}{6}}$，
∵第5項與第3項的系數(shù)之比為7：2，
∴$\frac{{C}_{n}^{4}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，∴n=9，故它的通項公式為 T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${x}^{\frac{27-7r}{6}}$，令27-7r=6，求得r=3，
則含x的項的系數(shù)是${C}_{9}^{3}$=84，
故答案為：84．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．