Question

14．已知x，y滿(mǎn)足：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，那么
（1）求函數(shù)x²+xy+y²的最值；
（2）求函數(shù)3x+4y的最值．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的參數(shù)方程，運(yùn)用二倍角公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)整理，再由正弦函數(shù)的值域即可得到最值；
（2）運(yùn)用輔助角公式，可得3x+4y=12cosα+12sinα=12$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），再由正弦函數(shù)的值域即可得到最值．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1可得
x=4cosα，y=3sinα（0≤α＜2π），
即有x²+xy+y²=16cos²α+12sinαcosα+9sin²α
=8（1+cos2α）+6sin2α+$\frac{9}{2}$（1-cos2α）
=6sin2α+$\frac{7}{2}$cos2α+$\frac{25}{2}$
=$\frac{\sqrt{193}}{2}$sin（2α+θ）+$\frac{25}{2}$，
當(dāng)sin（2α+θ）=-1時(shí)，取得最小值$\frac{25-\sqrt{193}}{2}$；
sin（2α+θ）=1時(shí)，取得最大值$\frac{25+\sqrt{193}}{2}$；
（2）由（1）可得3x+4y=12cosα+12sinα
=12$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα）
=12$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)sin（α+$\frac{π}{4}$）=1即α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k為整數(shù)時(shí)，取得最大值12$\sqrt{2}$；
當(dāng)sin（α+$\frac{π}{4}$）=-1即α=2kπ+$\frac{5π}{4}$，k為整數(shù)時(shí)時(shí)，取得最小值-12$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，注意化為參數(shù)方程，考查三角函數(shù)的輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．