Question

15．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 $\frac{c}{c-2b}=\frac{cos（π+A）}{{sin（\frac{π}{2}+C）}}$
（1）求角A的大小；   
（2）若b+c=4，求三角形ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由誘導(dǎo)公式得$\frac{a}{2b-c}=\frac{cosA}{cosC}$，由余弦定理得b²+c²-a²-bc=0，由此能求出A．
（2）由${S_△}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{b+c}{2}）^2}=\sqrt{3}$，能求出三角形面積的最大值．

解答 解：（1）∵在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
$\frac{c}{c-2b}=\frac{cos（π+A）}{{sin（\frac{π}{2}+C）}}$，
∴$\frac{a}{c-2b}=\frac{-cosA}{cosC}$，即$\frac{a}{2b-c}=\frac{cosA}{cosC}$，
由余弦定理得$\frac{a}{2b-c}$=$\frac{\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}}$，
整理，得b²+c²-a²-bc=0，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b+c=4，
∴${S_△}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{b+c}{2}）^2}=\sqrt{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，取等號．
∴三角形面積的最大值是$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形中角的求法，考查三角形的面積的最大值的求法，考查誘導(dǎo)公式、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．