Question

18．已知在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，△PAC為正三角形且邊長為4，則該三棱錐外接球O的表面積S=$\frac{64}{3}$π．

Answer 1

分析 取AC的中點O′，確定AC為△ABC外接圓的直徑，球心O在PO′上，利用勾股定理建立方程求出球的半徑，即可求出三棱錐外接球O的表面積．

解答 解：取AC的中點O′，則PO′⊥AC，PO′=2$\sqrt{3}$
∵AB⊥BC，
∴AC為△ABC外接圓的直徑，
∴球心O在PO′上，
設球的半徑為R，則R²=2²+（2$\sqrt{3}$-R）²，
∴R=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴三棱錐外接球O的表面積S=4πR²=$\frac{64}{3}$π．
故答案為：$\frac{64}{3}$π．

點評 本小題主要考查球的內接幾何體的相關計算問題，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題．