Question

9．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱AA₁與底邊AB，AC所成的角均為60°．若頂點A₁在下底面的投影恰在底邊BC上，則該三棱柱的體積為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出示意圖，由AA₁與AB，AC所成的角相等可知AA₁在底面的射影為角BAC的角平分線，利用勾股定理和余弦定理求出棱柱的高，代入體積公式計算．

解答 解設(shè)A₁在底面ABC的投影為D，連結(jié)AD，A₁B，
∵AA₁與AB，AC所成的角均為60°，∴AD為∠BAC的平分線，′
∵△ABC是等邊三角形，∴D為BC的中點．
∴BD=1，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
設(shè)三棱柱的高A₁D=h，則AA₁=$\sqrt{A{D}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+3}$，A₁B=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+1}$．
在△AA₁B中，由余弦定理得cos60°=$\frac{A{{A}_{1}}^{2}+A{B}^{2}-{A}_{1}{B}^{2}}{2AB•A{A}_{1}}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{{h}^{2}+3+4-（{h}^{2}+1）}{2\sqrt{{h}^{2}+3}}$=1，解得h=$\sqrt{6}$．
∴三棱柱的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\sqrt{6}$=3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征和體積計算，屬于中檔題．