Question

15．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，由拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）即b=1，根據(jù)離心率公式，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求得a²=5，求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）根據(jù)向量的坐標(biāo)表示分別求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求得關(guān)于λ₁和λ₂的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得λ₁+λ₂=-10，即可證明λ₁+λ₂為定值．

解答 解：（I）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）
∴b=1．
又有 e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴a²=5，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$； …（4分）
（II）證明：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
可知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）．
$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，
∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），即x₁=$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$，…（6分）
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得$\frac{1}{5}$（$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$）²+（$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$）²=1，
去分母整理得${λ}_{1}^{2}$+10λ₁+5-5${y}_{0}^{2}$=0，…（9分）
同理$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，可得${λ}_{2}^{2}$+10λ₂+5-5${y}_{0}^{2}$=0，
∴λ₁，λ₂，是方程${x}^{2}+10x+5-5{y}_{0}^{2}=0$的兩個(gè)根，
∴λ₁+λ₂=-10．
∴λ₁+λ₂為定值．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)表示，考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．