Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}-3{a^2}$x+1，0＜a＜1．
（1）求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）若x∈[1-a，1+a]時，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），試確定實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進而得到極大值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{3}$時，當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜1時，判斷f′（x）的單調(diào)性，求得最值，得到a的不等式組，即可解得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}-3{a^2}$x+1，0＜a＜1．
f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，
當(dāng)f′（x）＞0時，得a＜x＜3a；
當(dāng)f′（x）＜0時，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a）； 
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a）和（3a，+∞）．
故當(dāng)x=3a時，f（x）有極大值，其極大值為f（3a）=1． 
（2）∵f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{3}$時，1-a＞2a，
∴f′（x）在區(qū)間[1-a，1+a]內(nèi)是單調(diào)遞減．
∴f′（x）_max=f′（1-a）=-8a²+6a-1，f′（x）_min=f′（1+a）=2a-1，
∵-a≤f′（x）≤a，∴$\left\{\begin{array}{l}{-8{a}^{2}+6a-1≤a}\\{2a-1≥-a}\end{array}\right.$ 此時，a∈∅．
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a＜1時，f′（x）_max=f′（2a）=a²，
∵-a≤f′（x）≤a，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}≤a}\\{2a-1≥-a}\\{-8{a}^{2}+6a-1≥-a}\end{array}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{0≤a≤1}\\{a≥\frac{1}{3}}\\{\frac{{7-\sqrt{17}}}{16}≤a≤\frac{{7+\sqrt{17}}}{16}}\end{array}}\right.$，
此時$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$．
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用：求最值，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．