Question

6．已知曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx+mf（x），其中m為常數(shù)，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0，可得f（1）=0及f′（1）=0，由此求出a，b的值；
（Ⅱ）把a，b的值代入f（x），再把f（x）代入g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx+mf（x），根據(jù)m的范圍可得導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號，由導(dǎo)函數(shù)的符號可得原函數(shù)的單調(diào)期間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax+blnx-1，定義域為（0，+∞），
${f}^{′}（x）=a+\frac{x}$，
由曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1=0}\\{{f}^{′}（1）=a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f（x）=x-lnx-1，
故g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx+mf（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-mlnx-m$，
g（x）的定義域為（0，+∞），${g}^{′}（x）=x-\frac{m}{x}=\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
當(dāng)m≤0時，g′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
即g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞0時，令g′（x）=0，解得x=$\sqrt{m}$或x=-$\sqrt{m}$（舍），
①當(dāng)x∈（0，$\sqrt{m}$）時，g′（x）＜0，即g（x）在（0，$\sqrt{m}$）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)x∈（$\sqrt{m}，+∞$）時，g′（x）＞0，即g（x）在（$\sqrt{m}，+∞$）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)m≤0時，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞0時，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\sqrt{m}$，+∞），g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\sqrt{m}$）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上的某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．