Question

19．函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2（x∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）a=0時(shí)，曲線f（x）=x³+x+2的切線斜率的取值范圍記為集合A，曲線f（x）=x³+x+2上同兩點(diǎn)p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）連線斜率取值范圍記為集合B，你認(rèn)為集合A、B之間有怎樣的關(guān)系，（真子集、相等），并證明你的結(jié)論．
（Ⅲ）a=3時(shí)，f（x）=x³+3x²+x+2的導(dǎo)函數(shù)f′（x）是二次函數(shù)，f′（x）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．你認(rèn)為三次函數(shù)f（x）=x³+3x²+x+2的圖象是否具有某種對(duì)稱性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）分別求出A，B，即可判斷集合A、B之間的關(guān)系；
（Ⅲ）設(shè)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心（m，n），則把$y=f（x）圖象按向量\overrightarrow b=（-m，-n）平移，得到$y=g（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即y=g（x）是奇函數(shù)，利用g（x）是奇函數(shù)，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+x+2，
∴f′（x）=3x²+2ax+1．（1分）
若△=4a²-12＜0，即-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增；（3分）
若△=4a²-12=0，即a=±$\sqrt{3}$時(shí)，對(duì)于$x∈R，有f'（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)f'（-\frac{a}{3}）=0$，
故f（x）在R上單調(diào)遞增；（4分）
若△＞0，顯然不合；
綜合所述，f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，a∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]；（5分）
（Ⅱ）B⊆A（6分）
證明：∵f（x）=x³+x+2有f'（x）=3x²+1≥1，故A=[1，+∞），（7分）
設(shè)PQ斜率k，則$k=\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{（x_1^3-x_2^3）+（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$

=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（x_1^2+{x_1}{x_2}+x_2^2+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$（8分）
=$x_1^2+{x_1}{x_2}+x_2^2+1={（{x_1}+\frac{x_2}{2}）^2}+\frac{3x_2^2}{4}+1$（9分）
∵${（{x_1}+\frac{x_2}{2}）^2}+\frac{3x_2^2}{4}＞0$，
∴k＞1
得B=（1，+∞），
故 B⊆A（10分）
（Ⅲ）f（x）=x³+3x²+x+2的圖象具備中心對(duì)稱，
設(shè)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心（m，n），則把$y=f（x）圖象按向量\overrightarrow b=（-m，-n）平移，得到$y=g（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即y=g（x）是奇函數(shù)（（11分） ）
∵g（x）=f（x+m）-n=（x+m）³+3（x+m）²+（x+m）+2-n=x³+（3m+3）x²+（3m²+6m+1）x+m³+3m²+m+2-n
g（x）是奇函數(shù)的充要條件是$\left\{\begin{array}{l}{3m+3=0}\\{{m}^{3}+3{m}^{2}+m+2=0}\end{array}\right.$，
∴m=-1，n=3，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，3）中心對(duì)稱．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．