Question

6．已知函數(shù)f（x）=（x-a）|x|的圖象與直線y=1有且只有一個交點，則實數(shù)a的取值范圍是a＞-2．

Answer 1

分析 去絕對值，將函數(shù)寫成分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合，分類討論思想去解決．

解答 解：f（x）=（x-a）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax\\;x≥0}\\{-{x}^{2}+ax\\;x＜0}\end{array}\right.$，
①當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，在（0，$\frac{a}{2}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{a}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，
此時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1恰有一個交點，滿足題意，
②當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）的圖象在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，
此時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1且只有有一個交點，滿足題意，
③當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{a}{2}$，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞） 單調(diào)遞增，
∴要使函數(shù)f（x）=的圖象與直線y=1有且只有一個交點，只需滿足f（$\frac{a}{2}$）＜1即$\frac{{a}^{2}}{4}$＜1，解得-2＜a＜0，
綜上：a＞-2．

點評 本題主要考查數(shù)形結(jié)合，分類討論思想與計算能力．