Question

已知圓P：x²+y²=4y及拋物線S：x²=8y，過圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個交點，自左向右順次記為A，B，C，D，如果線段AB，BC，CD的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列，則直線l的斜率為

 

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Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：本題利用待定系數(shù)設(shè)出直線的方程，根據(jù)直線和曲線的方程聯(lián)列方程組，用弦長公式表示出AB、CD的長度，可將條件“三條線段成等差”轉(zhuǎn)化為線段AD、BC的關(guān)系，得到斜率k的關(guān)系式，解方程求出k的值，得本題結(jié)論．

解答： 解：∵圓P：x²+y²=4y，
∴x²+（y-2）²=4．
圓心P（0，2），半徑r=2，BC=4．
∵線段AB，BC，CD的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列，
∴AB+CD=BC，
∴AB+BC+CD=3BC，
∴AD=12．
設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，
由

y=kx+2 x2=8y

，得到：x²-8kx-16=0，
由弦長公式知：AD=

(1+k2)(x2-x1)2

=8（k²+1）．
∴8（k²+1）=12．
∴k=±

2

2

．

點評：本題考查了圓的標準方程、等差的轉(zhuǎn)化、弦長公式，有一定的思維難度和計算難度，屬于中檔題．