Question

12．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1．若對任意m，n∈[-1，1]，m+n≠0都有[f（m）+f（n）]（m+n）＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并說明理由；
（2）若$f（a+\frac{1}{2}）+f（-3a）＜0$，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若不等式f（x）≤3-|t-a|a對所有x∈[-1，1]和a∈[1，3]都恒成立，求實數(shù)t的范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義和單調性的定義，將n換為-n，即可得到；
（2）由題意可得f（a+$\frac{1}{2}$）＜-f（-3a）=f（3a），由f（x）在[-1，1]遞增，可得不等式組，解得即可；
（3）由題意可得，3-|t-a|a≥f（x）_max=1，即|t-a|a≤2對a∈[1，3]恒成立．再由絕對值的含義，可得$a-\frac{2}{a}≤t≤a+\frac{2}{a}$對a∈[1，3]恒成立，分別求得兩邊函數(shù)的最值，即可得到t的范圍．

解答 解：（1）用-n代替n得：[f（m）+f（-n）]（m-n）＞0，又f（x）為奇函數(shù)，
則[f（m）-f（n）]（m-n）＞0，
根據(jù)符號法則及單調性的定義可知：f（x）為增函數(shù)；
（2）若$f（a+\frac{1}{2}）+f（-3a）＜0$，即為f（a+$\frac{1}{2}$）＜-f（-3a）=f（3a），
由f（x）在[-1，1]遞增，可得
$\left\{\begin{array}{l}-1≤a+\frac{1}{2}≤1\\-1≤3a≤1\\ 3a＞a+\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}＜a≤\frac{1}{3}$；
（3）由題意可得，3-|t-a|a≥f（x）_max=1，
即|t-a|a≤2對a∈[1，3]恒成立．
即$a-\frac{2}{a}≤t≤a+\frac{2}{a}$對a∈[1，3]恒成立，
由于a-$\frac{2}{a}$在[1，3]遞增，可得a=3時，取得最大值；
a+$\frac{2}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{2}{a}}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當a=$\sqrt{2}$取得最小值．
即有$\left\{\begin{array}{l}t≥3-\frac{2}{3}\\ t≤2\sqrt{2}\end{array}\right.$$⇒2\sqrt{2}≤t≤\frac{7}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的運用：求最值和解不等式，考查不等式恒成立問題的解法注意轉化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．