分析 (1)利用等差數(shù)列的定義及其通項公式即可得出;
(2)對an≥0,an<0,討論,再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可;
(3)利用“裂項求和”與不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 解:(1)∵數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1-an(n∈N+),
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d.
∵a1=8,a4=2,
∴2=8+3d,解得d=-2.
∴an=8-2(n-1)=10-2n.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為An,則An=$\frac{n(8+10-2n)}{2}$=n(9-n).
令an≥0,解出n≤5.
∴當n≤5時,Sn=An=n(9-n),
當n≥6時,Sn=A5-a6-a6-…-an
=2A5-An
=2×5×(9-5)-n(9-n)
=n2-9n+40.
∴Sn=$\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2},n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40,n≥6}\end{array}\right.$.
(3)證明:bn=$\frac{n+1}{(n+2)^{2}(10-{a}_{n})^{2}}$=$\frac{n+1}{(n+2)^{2}(2n)^{2}}$=$\frac{1}{16}(\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}})$$(\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}})$,
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$\frac{1}{16}[(1-\frac{1}{{3}^{2}})$+$(\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}})$+$(\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}})$+…+$(\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}})$+$(\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}})]$
=$\frac{1}{16}(1+\frac{1}{4}-\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}})$<$\frac{5}{64}$.
∴對于任意的n∈N+,都有Tn<$\frac{5}{64}$.
點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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