Question

已知數(shù)列{a_n}是一個公差大于零的等差數(shù)列，且a₃a₆=55，a₂+a₇=16，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

bn

，T_n=c₁+c₂+…+c_n，試比較T_n與

4n

2n+1

的大小，并予以證明．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），由已知列方程組求解首項和公差，得到數(shù)列{a_n}的通項公式，再由S_n=2b_n-2確定數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式代入c_n=

an

bn

，由錯位相減法求其前n項和，然后利用歸納猜想得到當n=1，2時，T_n＜

4n

2n+1

；當n≥3時，T_n＞

4n

2n+1

．最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
則

(a1+2d)(a1+5d)=55① 2a1+7d=16②

，把②代入①得：（16-3d）（16+3d）=220，
解得：d²=4，
∵d＞0，∴d=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1．
當n=1時，S₁=2b₁-2，b₁=2，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=（2b_n-2）-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則bn=2n；
（Ⅱ）cn=

an

bn

=

2n-1

2n

，
Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式作差得：

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

．
Tn-

4n

2n+1

=3-

2n+3

2n

-

4n

2n+1

=

(2n+3)(2n-2n-1)

(2n+1)2n

．
要比較T_n與

4n

2n+1

的大小，只需比較2ⁿ與2n+1的大小即可．
由2＜2×1+1，2²2×3+1，2⁴＞2×4+1，
可猜想當n≥3時，2ⁿ＞2n+1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當n=3時顯然成立；假設(shè)當n=k（k≥3）時猜想成立，即2^k＞2k+1，
當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1．
∴當n=k+1時猜想成立．
綜上，當n=1，2時，T_n＜

4n

2n+1

；當n≥3時，T_n＞

4n

2n+1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，是難題．