Question

13．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB=CE．
（1）證明：∠D=∠E；
（2）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形；
（3）若BC=1，且△ADE的外接圓半徑為2，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，可證明∠D=∠E；
（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，證明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，進(jìn)而得∠A=∠E，可證明△ADE為等邊三角形；
（3）根據(jù)△ADE外接圓的半徑求出高與邊長(zhǎng)，利用四邊形ABCD是梯形，求出梯形的高h(yuǎn)，即可計(jì)算梯形的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（2）證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，則由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直線MN上，
∵AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（1）知，∠D=∠E，
∴△ADE為等邊三角形；
（3）△ADE是等邊三角形，且外接圓的半徑為2，
∴△ADE的高為3，
且$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=2，
∴AD=2$\sqrt{3}$；
又BC=1，BC∥AD，
∴四邊形ABCD是梯形，設(shè)梯形的高為h，
則$\frac{3-h}{3}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，
解得h=$\frac{3（2\sqrt{3}-1）}{2\sqrt{3}}$；
∴梯形ABCD的面積為
S=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+1）×$\frac{3（2\sqrt{3}-1）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{11\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，也考查了三角形外接圓以及求面積的應(yīng)用問題，是綜合性題目．