Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=8，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是120°．
（I）計(jì)算：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|和|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$|；
（II）當(dāng)k為何值時(shí)，（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）．

Answer 1

分析 （I）求出各向量的平方，然后開方即可得到所求向量的模．
（II）令（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，列出方程解出k．

解答 解：（I）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4×8×cos120°=-16．
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=16+64-32=48，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$．
（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$=16+64+256=336．
∴|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$|=$\sqrt{336}$=4$\sqrt{21}$．
（II）若（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），則（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0．
∴k${\overrightarrow{a}}^{2}+（2k-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow}^{2}$=0，
即16k-16（2k-1）-128=0，
解得k=-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量級(jí)運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量級(jí)的關(guān)系，屬于中檔題．